Skew

Instellingen

Vink aan welke vormen meedoen en vul de drempels in. Elke ronde telt tegelijk voor elke aangevinkte vorm; wie de meeste vormen wint, wint de wedstrijd. Deze stand staat los van de wedstrijd tegen de computer.

Log

Geteld bij weging . Stel je een andere weging in, dan zie je die cijfers apart.

Tegen de computer

Tegen een mens

Zetverdeling t.o.v. het evenwicht

Tegen de computer

Tegen een mens

Afwijken van het evenwicht is nodig om te winnen. Het wordt pas gevaarlijk als het volgens een vast patroon gebeurt: daar kan een tegenstander (computer of mens) gebruik van maken.

Het Nash-evenwicht

Er is één mix waartegen élke zet van de ander gemiddeld niets oplevert. Kan hij met geen enkele tactiek structureel winst maken, dan is er sprake van een Nash-evenwicht.*

Evenwicht, niet optimum. Het garandeert dat je niet verliest, niet dat je wint. Een zet is niet om te scoren, maar om iets af te dekken.

De duurste dreiging van de tegenstander is schaar: daarmee pakt hij 3 punten. Die moet dus het zwaarst worden afgedekt, en dat doe je met steen. Zijn goedkoopste dreiging is steen, goed voor maar 1 punt; die dek je af met papier, en dat heb je dus nauwelijks nodig.

Zo krijgt elke zet als gewicht de waarde van de dreiging die hij tegenhoudt:

Kort gezegd: hoe duurder een zet van de tegenstander is, hoe vaker je het winnende antwoord erop speelt. Dat voelt vreemd. Schaar levert het meeste op, maar je speelt hem toch minder vaak dan steen, die maar 1 punt geeft.

Dat Nash-evenwicht is iets wonderlijks. Zet de computer op Nash en klik 50× op steen: de stand zal ongeveer gelijk zijn. Klik nu 50× op schaar: weer gelijk. En ga nu 50× heel goed nadenken over elke zet: weer ongeveer gelijk. Het maakt helemaal niets uit wat je doet.

Ongeveer, wel te verstaan. Na 50 rondes ligt het verschil meestal binnen een punt of vijf, maar één op de tien keer loopt het op tot boven de twaalf. Dat is toeval, geen verdienste van een van beiden.

Tegen een computer die Nash speelt zal het daarom gemiddeld altijd gelijk blijven. Maar niet tegen een mens: zonder hulpmiddelen kan een mens niet perfect Nash spelen.

En tegen een computer met Nash als basis, maar die afwijkt wanneer hij een patroon bij je ontdekt, ben je kansloos. Zoals we hieronder bij Lerend+ zullen zien.

* Nash-evenwicht. John Nash (1928–2015) was een Amerikaanse wiskundige die in 1950 op 21-jarige leeftijd promoveerde op een proefschrift van 27 pagina's. Daarin bewees hij dat élk spel met een eindig aantal spelers en keuzes minstens één evenwicht heeft: een combinatie van strategieën waarbij geen speler er in zijn eentje op vooruit kan gaan door van gedachten te veranderen. Daarvoor kende de speltheorie alleen een oplossing voor tweestrijden waarin de winst van de een precies het verlies van de ander is. Nash maakte de theorie bruikbaar voor onderhandelingen, veilingen, verdragen en markten, en kreeg er in 1994 de Nobelprijs voor economie voor. Hij leed decennialang aan schizofrenie; zijn leven werd verfilmd als A Beautiful Mind. Het evenwicht is dus geen recept om te winnen: het is de beste keuze wanneer je tegenstander foutloos speelt, en juist een slechte keuze tegen iemand die dat niet doet.

Zelf uitrekenen

Vul in hoeveel punten winnen met elke zet oplevert. Hieronder wordt berekend de kansverdeling waarmee je niet uit te buiten bent (Nash-evenwicht).

Waar het Nash-evenwicht zit, hangt af van de weging. Vul hier eens 1-2-97 in, en je krijgt 97%-1%-2%. Stel je speelt dan 100 keer papier. De computer speelt van die 100 keer maar twee keer schaar, en wint 2 × 97 = 194 punten. En jij wint 97 keer met papier van zijn steen, wat 97 × 2 is — ook 194 punten! Varianten zijn eenvoudig te controleren wanneer het totaal van de weging 100 is.

Bereken

Lerend

We gaan hier uit van steen 1, papier 2, schaar 3.

De stand Lerend gokt niet op de volgende zet, maar schat de kans op alle drie in. Twee bronnen worden gemengd: hoe vaak je elke zet in het algemeen speelt, en wat je in het verleden deed ná precies de zet die je zojuist speelde (een Markov-tabel*). Die tweede weegt zwaarder naarmate er meer gegevens zijn — bij weinig rondes leunt de schatting nog op het algemene beeld.

Daarna kiest hij niet de harde tegenzet, maar de zet met de hoogste verwachte opbrengst: wat hij er gemiddeld aan overhoudt, winst min verlies.

Stel dat hij denkt dat je schaar speelt, met zo'n 60% kans, en steen en papier elk 20%. Steen is dan de harde tegenzet, maar reken mee:

Hij speelt steen: wint van schaar (60% × 1 punt = 0,60), verliest van papier (20% × 2 punten = 0,40). Saldo 0,60 − 0,40 = +0,20.
Hij speelt schaar: wint van papier (20% × 3 punten = 0,60), verliest van steen (20% × 1 punt = 0,20). Saldo 0,60 − 0,20 = +0,40.

Schaar levert dus het dubbele op, ook al is steen de zet die de verwachte schaar zou verslaan. Steen wint wel vaak, maar telkens voor één schamel punt.

Om zelf niet leesbaar te worden speelt hij ongeveer één op de zeven rondes gewoon de Nash-mix. Zonder die ruis zou zijn eigen gedrag een patroon worden dat de ander kan uitbuiten.

Speel je perfect willekeurig, dan valt er niets te leren voor de computer. Speel je zoals de meeste mensen — met voorkeuren, herhalingen, of juist krampachtig vermijden van herhaling — dan heeft hij dat snel door. Steeds dezelfde zet spelen ziet hij al na een rondje of vijf; een patroon van vier of meer zetten kost hem er een stuk of vijftien.

Lerend+

De stand Lerend kijkt maar één zet terug, en daar zit een gat in. Neem een reeks als steen-steen-papier-schaar, steeds herhaald. Volledig voorspelbaar, maar niet met één zet geheugen: na steen volgt de ene keer steen en de andere keer papier. De tabel ziet 50/50 waar in werkelijkheid niets aan het toeval is overgelaten.

Lerend+ houdt daarom vijf tabellen tegelijk bij: wat volgde er na de laatste zet, na de laatste twee, en zo door tot vijf. Bij elke beurt pakt hij de langste serie die zich voldoende bewezen heeft — een lange context telt zwaarder, maar alleen als hij vaak genoeg is voorgekomen. Is dat bewijs er niet, dan schuift hij terug naar een kortere serie. In het genoemde voorbeeld is "papier-schaar" wél eenduidig: daarna komt altijd steen.

Verder gaat hij te werk als de gewone stand: hij kiest de zet met de hoogste verwachte opbrengst, en speelt ongeveer één op de tien rondes de Nash-mix om zelf niet leesbaar te worden.

Vijf is niet willekeurig gekozen: langere series komen zo zelden twee keer voor dat er niets uit te leren valt. Tegen werkelijk willekeurig spel presteert Lerend+ dan ook precies even goed als Lerend — er is dan simpelweg geen patroon. Het verschil zit hem in regelmatigheden die langer zijn dan één zet, en die heeft bijna iedereen.

Vage patronen

Een patroon hoeft niet exact te zijn. De tabellen tellen kansen, geen regels — een neiging is genoeg. Wie een reeks in vier vijfde van de gevallen aanhoudt en verder maar wat doet, wordt bijna even hard afgestraft als wie hem perfect volgt. Pas als de regelmaat onder ongeveer de helft zakt, verdwijnt het voordeel geleidelijk in de ruis.

Het lastigst te vermijden is de gewoonte die bijna iedereen heeft die probeert onvoorspelbaar te zijn: te weinig dezelfde zet achter elkaar doen. Echt toeval herhaalt zichzelf juist regelmatig.

En zelfs perfect willekeurig spelen is hier niet goed genoeg. Tegen een gelijke verdeling van steen, papier en schaar is schaar altijd het beste antwoord — dat kost een halve punt per ronde, zonder dat er ook maar iets geleerd hoeft te worden. Alleen de Nash-mix komt op nul uit.

* Markov-tabel. Andrej Markov (1856–1922) was een Russische wiskundige die onderzocht wat er gebeurt als opeenvolgende gebeurtenissen niet onafhankelijk zijn. Zijn idee: soms hangt de kans op wat nu komt alleen af van de huidige toestand, en niet van de hele voorgeschiedenis daarvoor. Hij toonde het aan door de klinkers en medeklinkers in Poesjkins Jevgeni Onegin te tellen — na een klinker volgt veel vaker een medeklinker dan het toeval zou voorspellen. Zulke ketens sturen tegenwoordig spraakherkenning, weersverwachtingen en de PageRank van Google.

Hier is de toestand simpelweg je vorige zet. De tabel houdt negen tellers bij: hoe vaak je na steen weer steen speelde, na steen papier, na steen schaar, enzovoort. Uit de rij die bij je laatste zet hoort volgt de schatting voor je volgende. Zuiver willekeurig spel geeft negen gelijke tellers en dus geen aanknopingspunt; elke voorkeur — wisselen na verlies, volhouden na winst, nooit twee keer hetzelfde — laat er een bult in achter.

Tactiek

Het Nash-evenwicht vertelt hoe je niet verliest. Hieronder staat wat er gebeurt als je wél probeert te winnen.

Kijken en dan toeslaan

De bruikbaarste opzet is simpel: begin met het evenwicht, kijk ondertussen naar wat de ander doet, en stap eruit zodra je iets ziet. Zolang je niets ziet kost het evenwicht je niets, en het verraadt ook niets over jezelf. Het is de rustige stand van waaruit je kunt observeren.

Let op één ding: het evenwicht straft een fout van de ander niet vanzelf af. Het levert tegen iedereen precies nul op, ook tegen iemand die zichzelf volledig blootgeeft. Wachten tot de tegenstander gaat afwijken heeft dus geen zin — je moet zelf iets anders gaan spelen om er iets aan te hebben.

Gelijk blijft niet gelijk

Spelen twee spelers allebei het evenwicht, dan is de verwachting nul. Toch eindigt het bijna nooit precies gelijk: het verschil dwaalt heen en weer. Na tien rondes eindigt maar één op de elf spellen echt in een gelijkspel, met gemiddeld zo'n vier punten verschil; na tweehonderd rondes is dat zestien punten.

Verwachting nul betekent dat het even vaak de ene als de andere kant op gaat, niet dat er niets beweegt. In een korte wedstrijd beslist het toeval dus voor een groot deel.

Voorstaan of achterstaan verandert het spel

Zodra er een eindstreep in zicht is, tellen punten niet meer voor zichzelf. Wat telt is de kans om de wedstrijd te winnen. Een punt dat een voorsprong onaantastbaar maakt is meer waard dan een punt dat een verloren stand iets minder verloren maakt.

Daardoor verschuift de beste mix. Voor "meeste punten na een aantal rondes" is die exact te berekenen. Met vier rondes te gaan:

Bij gelijke stand is het bijna de gewone mix. Sta je voor, dan speel je veel vaker schaar; sta je achter, veel vaker steen. Dat is geen kwestie van voorzichtig of roekeloos: het is wat er overblijft als beide spelers ervan uitgaan dat de ander net zo denkt.

Aardig gevolg: bij een gelijke stand met nog één ronde te gaan is de beste mix precies 1/3-1/3-1/3, ook al zijn de punten ongelijk. Die laatste ronde win of verlies je immers, en dan maakt het niet meer uit met hoeveel.

Waarom "hij weet dat ik weet" ergens ophoudt

Stel je staat achter en denkt: ik moet risico nemen, ik speel papier voor de grote klap — je tegenstander bedenkt echter dat je dat bedenkt, en speelt schaar. Maar dat weet jij weer, dus speel je steen. Wat hij ook weet. Zo kun je eindeloos doorgaan.

Die keten loopt niet oneindig door. Hij eindigt bij een mix waar geen van beiden nog van kan afwijken zonder er slechter van te worden — precies zoals in de tabel hierboven. Dat is een tweede evenwicht, nu niet over punten maar over de wedstrijd als geheel.

En dat is meteen waarom het spel leuk blijft: die mix hangt af van de stand en het aantal rondes, en niemand rekent dat aan tafel even uit.

Verder lezen

Ons spel is niet op een van onderstaande artikelen gebaseerd. De formule voor de Nash- mix volgt rechtstreeks uit de eis dat elke tegenzet nul oplevert; de stand "Lerend" is een gewone combinatie van standaardtechnieken (Markov-tabel plus verwachte waarde) en komt niet uit een publicatie.

Why Winning in Rock-Paper-Scissors (and in Life) Isn't Everything — Quanta Magazine, 2018. populair-wetenschappelijk
Legt stap voor stap uit wat een Nash-evenwicht is aan de hand van dit spel. Bevat ons spel als gedachtenexperiment: wat als winnen met de ene zet meer oplevert dan met de andere? Het antwoord is dat de Nash-mix verschuift richting de zet die de duurste zet verslaat — de regel die we hier gebruiken.

Biodiversity May Thrive Through Games of Rock-Paper-Scissors — Quanta Magazine, 2020. populair-wetenschappelijk
Zijsprong, maar interessant: hagedissen, bacteriën en planten spelen dit spel echt. Omdat geen enkele soort altijd wint, blijven ze naast elkaar bestaan. Steen-papier-schaar als verklaring voor biodiversiteit.

Social cycling and conditional responses in the Rock-Paper-Scissors game — Wang, Xu & Zhou, Scientific Reports (Nature), 2014. wetenschappelijk
360 studenten speelden 300 rondes tegen elkaar, met een instelbare beloning voor winst. De uitkomst: mensen spelen het Nash-evenwicht niet. Ze vervallen in cycli — na winst herhalen, na verlies doorschuiven naar de zet die je zojuist versloeg. Dat is de menselijke fout waarop de stand "Lerend" jaagt. Gratis te lezen; er is ook een preprint op arXiv.

Incentive and stability in the Rock-Paper-Scissors game — Wang & Xu, 2014. wetenschappelijk
Vervolg op het bovenstaande: wat gebeurt er als je de beloning voor winnen opschroeft? Direct relevant voor de weging, want het gaat precies over de vraag hoe de uitbetaling het gedrag verandert.

Het spel

Skew is steen-papier-schaar met één verschil: winnen levert niet altijd evenveel op. Hier is als standaard winnen met steen 1 punt waard, met papier 2 en met schaar 3.

Dat kleine verschil verandert het spel volledig. In het gewone spel is elke zet even goed en kun je het niet beter doen dan willekeurig spelen. Hier niet: sommige zetten zijn duurder om van te verliezen dan andere, en dus is er iets om over na te denken. Waarom dat zo is en hoe je er het beste mee omgaat, staat bij Analyse.

De weging aanpassen

De drie puntwaarden zijn in te stellen bij Instellingen. Behalve 1-2-3 of 1-1-1 kun je ook voor iets heel anders kiezen:

1-2-3 is de standaard, waarvoor dit spel bedacht is.
1-1-1 is het klassieke steen-papier-schaar: elke winst telt gelijk.
Kies laat je eigen getallen invullen, van 1 tot 99 per zet. Hoe verder de getallen uit elkaar liggen, hoe schever het spel wordt.

De weging geldt voor het hele spel, dus ook voor het tabblad Mens. Zodra er een wedstrijd loopt gaat hij op slot: de spelregels kunnen halverwege niet veranderen.

Tegen de computer

Kies een zet en je ziet meteen wat de computer speelde. De stand loopt door tot je op Opnieuw klikt. De computer kan op vier manieren spelen, van voorspelbaar tot nauwelijks te verslaan:

Random speelt alle drie de zetten even vaak.
Theoretisch speelt de mix waartegen niets te winnen valt.
Lerend kijkt naar wat je na je vorige zet pleegt te doen.
Lerend+ kijkt vijf zetten terug en vindt daardoor ook langere patronen.

Wat het verschil precies is, en waarom sommige speelwijzen tegen de een wél werken en tegen de ander niet, staat bij Analyse.

Tegen een mens

Dit kan op twee manieren, te kiezen bij Instellingen.

Naast elkaar — samen op hetzelfde apparaat. De eerste speler kiest een zet, geeft het apparaat door, de tweede kiest, en pas dan verschijnt de uitslag. De zet van de eerste blijft tot dat moment onzichtbaar. Werkt zonder internet.

Op afstand — je krijgt een link die je naar de ander stuurt. Wie hem opent, speelt mee. Jullie hoeven niet tegelijk aanwezig te zijn: allebei kies je een zet, en de ronde lost pas op zodra beide zetten binnen zijn. Tot dat moment is er niets te zien van wat de ander koos — ook niet met een omweg, want de server geeft het pas prijs als het voor allebei tegelijk kan.

Onderweg kun je twee dingen voorstellen: Opnieuw beginnen zet de stand terug op nul, en Wedstrijd voorstellen maakt er een wedstrijd van. Allebei vragen ze om akkoord van de ander, en allebei houden ze dezelfde link — er hoeft dus niets opnieuw verstuurd te worden. Met Spel stoppen beëindig je het geheel.

Een ronde kan dus een paar seconden duren of een halve dag. Blijft het 24 uur helemaal stil, dan wordt het geannuleerd. Loopt er een wedstrijd en laat één van beiden het afweten terwijl de ander al gekozen heeft, dan verliest de afwezige.

Wat het tabblad Analyse bijhoudt

Onder Analyse staan je eigen cijfers: hoeveel rondes je speelde, hoe vaak je won, en hoe je zetten verdeeld zijn. Twee dingen zijn daarbij van belang.

Alles wordt per weging apart geteld. Bij 1-1-1 hoort een andere ideale zetverdeling dan bij 1-2-3, dus die cijfers op één hoop gooien zou een vertekend beeld geven. Stel je een andere weging in, dan zie je de cijfers die daarbij horen — en die zijn leeg als je er nog niet mee gespeeld hebt. Er gaat niets verloren: schakel je terug, dan staan de oude cijfers er weer.

Tegen de computer en tegen een mens worden apart geteld. Tegen de computer zit je vaak wat uit te proberen; tegen een mens speel je anders, en de ander speelt ook anders dan een computer. Die twee bij elkaar optellen zegt weinig.

De knop Opnieuw bij Computer begint een nieuw spel: de stand gaat terug naar nul en de computer vergeet wat hij over je speelwijze had geleerd. De cijfers in Analyse lopen wel gewoon door. Hetzelfde gebeurt zodra je de weging verandert — ook dan begint de computer blanco, want bij een andere weging speel je anders en zouden oude waarnemingen het beeld vertroebelen.

Wil je de cijfers zelf wissen, gebruik dan Wis statistieken onder Analyse. Dat wist de cijfers van de huidige weging — andere wegingen blijven staan — en zet ook het geheugen van de computer op nul.

Dat geheugen speelt alleen bij Computer. Rondes tegen een mens tellen wel mee in de cijfers, maar er is dan geen computer die iets probeert te voorspellen.

Een wedstrijd spelen

Losse rondes spelen kan altijd; een wedstrijd is optioneel. Voor een wedstrijd zijn drie vormen beschikbaar:

Best of — een aantal rondes, waarvan je de meeste moet zien te winnen. Alleen rondewinsten tellen hier, de punten niet.
Eerste bij — wie als eerste een afgesproken puntentotaal haalt.
Meeste punten na — een vast aantal rondes; daarna wint het hoogste totaal.

Elke ronde telt tegelijk voor elke vorm die je aanvinkt. Wie de meeste actieve vormen wint, wint de wedstrijd. Eén vorm mag ook — dan beslist die in zijn eentje.

Staat het gelijk op het moment dat een vorm zou eindigen, dan wordt doorgespeeld tot de stand verschilt. En zodra iemand niet meer in te halen is, stopt die vorm meteen.

Tegen de computer en naast elkaar stel je de vormen gewoon zelf in. Op afstand doe je een voorstel: de ander ziet de weging en de gekozen vormen en gaat er wel of niet mee akkoord. Bij akkoord begint de wedstrijd meteen en gaat de stand terug naar nul. Bij niet-akkoord kunnen de instellingen eerst weer worden aangepast.